题目内容

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点Q在AB上且AQ=2，过点Q作QR⊥AB垂足为Q，QR交折线AC-CB于R，当点Q以每秒1个单位的速度向终点B移动时，点P同时从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AB-BC-CA移动．设移动的时间为t（秒），
（1）当t=1秒时，RQ=，△ARQ的面积是．
（2）设△ARQ的面积是S，请写出S与t的函数关系式．
（3）t为何值时PQ∥AC？
（4）当t为何值时，直线QR经过点P？
（5）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方作正方形．若正方形PQMN在Rt△ABC内部时，请计算出此时t的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）当R在AC边上，
由△ARQ∽△ABC得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，RQ= $\text{[math]}$ （2+t），
S= $\text{[math]}$ （2+t）× $\text{[math]}$ （2+t）= $\text{[math]}$ （2+t）²= $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ，
当R在BC边上，RQ= $\text{[math]}$ （8-t），S= $\text{[math]}$ t²+4t+ $\text{[math]}$ ；

（3）当PQ∥AC时，BQ=10-（2+t）=8-tBP=3t-10，
由△BPQ∽△BCA得：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ；

（4）①当Q．P均在AB上时AP=3t，AQ=2+t，
AP=AQ即3t=2+t，
t=1，
②当P在BC上时，
由△BPQ∽△BAC得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
t=5s，
③当P在AC上不存在QR经过点P，
综上当t=1s或5s时直线QR经过点P；

（5）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，
∵AP=3t，Q=2+t，
∴PQ=2+t-3t=2-2t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=2-2t，
由△APN∽△ACB得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，BP=10-3t，
PN=PQ=2t-2由△BPN∽△BCA得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∵t=1时点P与点Q重合．
∴ $\text{[math]}$ ≤t≤ $\text{[math]}$ 且t≠1时正方形PQMN在Rt△ABC内部．
分析：（1）根据题意得△AQR∽△ACB，由相似三角形的性质求得QR，再根据三角形的面积公式求得面积；
（2）分两种情况进行讨论：①当R在AC边上，由△ARQ∽△ABC得，S= $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ；②当R在BC边上，S= $\text{[math]}$ t²+4t+ $\text{[math]}$ ．
（3）当PQ∥AC时，由△BPQ∽△BCA得出t；
（4）分三种情况讨论即可：①当Q．P均在AB上时；②当P在BC上时；③当P在AC上不存在QR经过点P
（5）有两种情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+t-3t=2-2t，由△APN∽△ACB得 $\text{[math]}$ ，从而得出t；
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得 $\text{[math]}$ ，综上两种情况，可得出t的取值范围．
点评：本题是一道综合性较强的题目，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及正方形的性质，是中考压轴题，难度较大．