Question

如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

Answer 1

解：（1）设正方形的边长为cm，则．   即．解得（不合题意，舍去），．    剪去的正方形的边长为1cm． （2）有侧面积最大的情况．   设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，   则与x的函数关系式为：     ．   即．   改写为．   ∴当时，．   即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2． （3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为 ycm2．   若按图1所示的方法剪折，则与 x的函数关系式为：                 即．    ∴当时，．   若按图2所示的方法剪折，则与 x 的函数关系式为：                即 ．    ∴当时，．   比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．