Question

【题目】如图，已知⊙O的半径为1，AB、CD都是它的直径，∠AOD=60°，点P在劣弧上运动变化．

（1）问的大小随点的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化范围；

（2）线段的长度大小随点的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化范围．

Answer 1

【答案】（1）不会随着点的变化而变化；理由见解析；（2）；

【解析】

（1）由于∠APC=∠AOC，而∠AOC=180°﹣60°=120°，所以∠APC=×120°=60°．

（2）先根据三角形AOD为等边三角形，△DAC为直角三角形，得到AC=．当点P为的中点时，可分析出并求出PA+PC的最大值为；当点P与点D或点B重合，可分析出并求出PA+PC的最小值为3，由此得到PA+PC值的变化范围．

（1）∠APC的大小不变化．理由如下：

∵∠APC=∠AOC，而∠AOC=180°﹣60°=120°，∴∠APC=×120°=60°，∴∠APC不会随着点P的变化而变化；

（2）线段PA+PC的长度大小随点P的变化而变化．

连AC，AD．

∵∠AOD=60°，OA=OD，∴三角形AOD为等边三角形．

又∵CD为直径，∴∠DAC=90°，则∠ACD=30°，且AO=1，因此AC=．

当点P为的中点时，点P到AC的距离的最大．此时三角形APC为正三角形，点P到AC的距离为×=，∴PA+PC的最大值为．

点P到AC的距离的最小值为1，当点P与点D或点B重合，点P到AC的距离的最小，最小值为1，此时PA+PC的值为3，因此，PA+PC值的变化范围为3≤PA+PC．