Question

已知线段AC与BD相交于点O，联结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF．
（1）添加条件∠A=∠D，OE=OF，试说明：AB=DC．
（2）分别将“∠A=∠D”记为①，“OE=OF”记为②，“AB=DC”记为③．若以①、③为条件，以②为结论构成命题1；若以②、③为条件，以①为结论构成命题2．则命题1是

真

命题，命题2是

假

命题（填入“真”或“假”）．

Answer 1

分析：（1）先求出OB=OC，再利用“角角边”证明△AOB和△DOC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）命题1，利用“角角边”证明△AOB和△DOC全等，再根据全等三角形对应边相等得到OB=OC，然后根据线段中点的定义证明；命题2，符合“边边角”，不能证明△AOB和△DOC全等．

解答：（1）证明：∵E为OB的中点，F为OC的中点，
∴OB=2OE，OC=2OF，
∵OE=OF，
∴OB=OC，
在△AOB和△DOC中，

∠A=∠D ∠AOB=∠DOC OB=OC

，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AB=DC；

（2）解：命题1，在△AOB和△DOC中，

∠A=∠D ∠AOB=∠DOC AB=DC

，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC，
∵E为OB的中点，F为OC的中点，
∴OB=2OE，OC=2OF，
∴OE=OF，故命题1是真命题；
命题2，以②OE=OF、③AB=DC为条件，△AOB和△DOC符合“边边角”，不能证明全等，
所以，以①∠A=∠D为结论命题不成立，是假命题．
故答案为：真，假．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，真、假命题的判断，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意“边边角”不能证明三角形全等．