题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，我们定义直线
为抛物线
（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”，已知抛物线
与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段BC上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；
；
；（2）(0，
）；（3）（0，1），（
，
），（
，
），（
，）．
【解析】
（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得
、
的坐标；
（2）当
点在
轴上时，过作
轴于点
，过作
轴于点
，则
，
，
，利用勾股定理，可以得出AC的长，设N点坐标为：(0，y），根据翻转，可得
，结合点坐标，利用勾股定理，可求得点坐标；
（3）分3种情况：当
时，当
时，当
时，分别结合题目的已知条件进行讨论，即可求出P点坐标．
解：（1）
抛物线
，
其梦想直线的解析式为，
联立梦想直线与抛物线解析式可得
，解得
或
，
，
，
，
故答案为：；；；
（2）当点在轴上时，
为梦想三角形，
如图，过作轴于点，过作轴于点，
则，，，
∴
，
设N点坐标为：(0，y）（
），则
，
∵将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，
则有，即：
，
解之得：
，
∴N的坐标为：(0，）；
（3）在该抛物线的“梦想直线”上，存在点P，使△ACP为等腰三角形，
∵抛物线中，当
时，
，
，
∴C的坐标为：(-3，0）；
设P点坐标为：(x，-x+1）
①如图示，
当时，即有 
解之得：
，
，
∴P点坐标为：（0，1），（-2，3）（此点为A点，不合题意，舍去）
②如图示，
当时，即有 
解之得：
，
，
∴
，
∴P点坐标为：（，），（，）；
③如图示，
当时，作AC的垂直平分线KP，KP交AC于点K，
∴K的坐标为：（-2.5，1.5），
∵A的坐标为：（-2，3），C的坐标为：（-3，0），
∴
，
∴
，
∴
，将（-2.5，1.5）代入，则
∴KP的解析式为：
联立梦想直线与直线KP的解析式可得
，解得
∴P点坐标为：（，），
综上所述，P点坐标为：（0，1），（，），（，），（，）；
