Question

10．某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：
【探究】如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，点D是BC的中点，试探究BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．
（1）求证：△ADC≌△EDB
证明：∵延长AD到点E，使DE=AD
在△ADC和△EDB中AD=ED（已作）∠ADC=∠EDB（对顶角相等）     CD=BD（中点定义）
∴△ADC≌△EDB（SAS）
（2）探究得出AD的取值范围是1＜AD＜7；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF．
求证：∠BFD=∠CAD．

Answer 1

分析 （1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB；
（2）根据全等三角形的性质得到BE=AC=6，根据三角形三边关系计算；
（3）延长AD到H，使DH=AD，根据全等三角形的性质得到BH=AC，∠BHD=∠CAD，根据等腰三角形的性质证明即可．

解答 （1）证明：∵延长AD到点E，使DE=AD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（中点定义），
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：对顶角相等；SAS；
（2）解：∵△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，
∴AB-BE＜AE＜AB+BE，即1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（3）证明：延长AD到H，使DH=AD，
由（1）得，△ADC≌△HDB，
∴BH=AC，∠BHD=∠CAD，
∵AC=BF，
∴BH=BF，
∴∠BFD=∠BHD，
∴∠BFD=∠CAD．

点评 本题考查的是三角形的中线的概念和性质、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．