Question

已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF．
（1）当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．
（2）探索DE、DF与等腰△ABC的高的关系．说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据三线合一定理求出AD平分∠BAC，根据角平分线性质求出即可．
（2）连接AD，过C作CM⊥AB于M，根据三角形面积公式求出即可．

解答：解：（1）D为中点时，DE=DF，
理由是：
连接AD，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．

（2）DE+DF的长为腰上的高的长，
理由是：连接AD，过C作CM⊥AB于M，
∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴

1

2

AB×CM=

1

2

AB×DE+

1

2

AC×DF，
∵AB=AC，
∴DE+DF=CM，
即DE+DF的长为腰上的高的长．

点评：本题考查了角平分线性质，等腰三角形性质，三角形面积的应用，题目具有一定的代表性，难度适中．