Question

已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CF=2，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）连接AD、OD证得AD⊥BC，从而证得OD⊥DE后即可得到DE是圆O的切线；
（2）根据平行得到比例式后求得AE的长后即可求得BE的长．

解答：（1）证明：连接AD、OD，
∵AC是⊙0直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，（1分）
∵AC=AB，
∴BD=DC，（2分）
∵AO=OC，
∴OD∥AB，（3分）
∵AB⊥DE，
∴OD⊥DE，（4分）
∴DE是⊙0的切线；（5分）


（2）∵OD∥AB，
∴

FO

FA

=

OD

AE

，
∵FC=2，OA=OD=OC=3，
∴FO=5，FA=8，
∴AE=

FA×OD

FO

=

24

5

=4.8，（8分）
∴BE=AB-AE=AC-AE=6-4.8=1.2．（9分）

点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线分线段成比例定理等知识，是一道比较好的数学综合题．