Question

若关于x的方程x²+2mx+m²+3m-2=0有两个实数根x₁、x₂，则x₁（x₂+x₁）+x₂²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系,二次函数的最值

专题：压轴题,判别式法

分析：由题意可得△=b²-4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．

解答：解：由题意知，方程x²+2mx+m²+3m-2=0有两个实数根，
则△=b²-4ac=4m²-4（m²+3m-2）=8-12m≥0，
∴m≤

2

3

，
∵x₁（x₂+x₁）+x₂²
=（x₂+x₁）²-x₁x₂
=（-2m）²-（m²+3m-2）
=3m²-3m+2
=3（m²-m+

1

4

-

1

4

）+2
=3（m-

1

2

）² +

5

4

；
∴当m=

1

2

时，有最小值

5

4

；
∵

1

2

＜

2

3

，
∴m=

1

2

成立；
∴最小值为

5

4

；
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．