Question

4．如图，在Rt△ABO中，顶点A（横坐标为1）是双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=-x+（k+1）在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S_△ABO=$\frac{3}{2}$．      
①求这两个函数的解析式；
②若两个函数另一个交点C的横坐标为-3，求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）由S_△ABO=$\frac{3}{2}$，根据反比例函数的系数k的几何意义，即可求出k的值，从而求得两个函数的解析式；
（2）将两函数解析式组成方程组，求出方程组的解即为交点坐标，求出直线AC和x轴的交点坐标，结合A、C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出S_△AOC．

解答 解：（1）∵S_△ABO=$\frac{3}{2}$，
∴|k|=2×$\frac{3}{2}$=3，
由于反比例函数的图象位于二、四象限，
∴k=-3，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{3}{x}$．
一次函数解析式为y=-x-3+1，
即y=-x-2．

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$．
∴A（1，-3），C（-3，1）．
设直线与x轴的交点为D，令y=0，则有-x-2=0，
解得x=-2，故D点坐标为（-2，0）．
∴S_△AOC=S_△DOC+S_△AOD
=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×3
=1+3
=4．

点评 此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．