Question

（12分）已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

1.（1）求A、B、C三点的坐标；

2.（2）求此抛物线的表达式；

3.（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

4.（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）解方程x²－10x＋16＝0得x₁＝2，x₂＝8 ………………………………1分

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） …………………………………2分

 

2.（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax²＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

0＝4a＋2b＋8(0＝36a－6b＋8) 解得    3(8)

∴所求抛物线的表达式为y＝－3(2)x²－3(8)x＋8  ………………………………………5分

3.（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10

∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC

∴AC(EF)＝AB(BE)  即10(EF)＝8(8－m)

∴EF＝4(40－5m) …………………………………………6分

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则△FEG∽△CAO

∴EF(FG) ＝  ＝ 5(4) ∴FG＝5(4)·4(40－5m)＝8－m

∴S＝S_△BCE－S_△BFE＝2(1)（8－m）×8－2(1)（8－m）（8－m）

＝2(1)（8－m）（8－8＋m）＝2(1)（8－m）m＝－2(1)m²＋4m ……………………………8分

自变量m的取值范围是0＜m＜8  …………………9分

 

4.（4）存在．

理由：∵S＝－2(1)m²＋4m＝－2(1)（m－4）²＋8  且－2(1)＜0，

∴当m＝4时，S有最大值，S_最大值＝8  ………………………………10分

∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）

∴△BCE为等腰三角形．  ……………………………………………12分

【解析】略