题目内容

如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足 $数学公式$ ，则△EFD与△ABC的面积比为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：先设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，由于 $\text{[math]}$ ，根据比例性质易得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，而∠A=∠A，易证△AEF∽△ABC，从而易得h′=3h，那么△DEF的高就是2h，再设△AEF的面积是s，EF=a，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么S_△AEF：S_△ABC=1：9，于是S_△ABC=9s，根据三角形面积公式易求S_△DEF=2s，从而易求S_△DEF：S_△ABC的值．
解答：设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，

∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，S_△AEF：S_△ABC=1：9，
∴h′=3h，
∴△DEF的高=2h，
设△AEF的面积是s，EF=a，
∴S_△ABC=9s，
∵S_△DEF= $\text{[math]}$ •EF•2h=ah=2s，
∴S_△DEF：S_△ABC=2：9．
故选B．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是先证明△AEF∽△ABC，并注意相似三角形高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．