如图.一次函数y1=x+m的图象与x轴交于点A.一次函数y2=nx+2的图象与x轴交于点B.点P($\frac{1}{3}.\frac{4}{3}$)是两函数图象的交点．(1)求函数y1.y2的关系式,(2)若∠PBA=64°.求∠APB的度数,(3)求四边形PCOB的面积,(4)在x轴上.是否存在一点Q.使以点Q.B.C为顶点的三角形是等腰三角形?若存在.请直接写出点Q的坐标,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，一次函数y₁=x+m（m＞0）的图象与x轴交于点A，一次函数y₂=nx+2的图象与x轴交于点B，点P（$\frac{1}{3}，\frac{4}{3}$）是两函数图象的交点．
（1）求函数y₁、y₂的关系式；
（2）若∠PBA=64°，求∠APB的度数；
（3）求四边形PCOB的面积；
（4）在x轴上，是否存在一点Q，使以点Q、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据点P在两个函数图象的交点，利用待定系数法解答即可；
（2）根据点C的坐标得出OA=OC，得出∠CAB=45°，再利用三角形内角和定理解答即可；
（3）先求出点B的坐标，再求出AB的长，然后根据S_{四边形PCOB}=S_△PAB-S_△AOC即可求解；
（4）分三种情况讨论：①当QB=QC时，②当BQ=BC时，③当BC=QC时解答．

解答解：（1）∵P（$\frac{1}{3}，\frac{4}{3}$）是两函数图象的交点，
∴$\frac{4}{3}=\frac{1}{3}+m\\;\\;\frac{4}{3}=\frac{1}{3}n=2$，$\frac{4}{3}=\frac{1}{3}n+2$，
解得：m=1，n=-2，
所以y₁=x+1，y₂=-2x+2；
（2）把x=0代入y₁=x+1，可得y=1，
把y=0代入y₁=x+1，可得x=-1，
所以OA=OC=1，
所以∠CAB=45°，
∵∠PBA=64°，
∴∠APB=180°-45°-64°=71°；
（3）∵直线y₁=x+1与x，y轴分别交于点A，C，
∴A（-1，0），C（0，1），
∴OA=1，OC=1，
∵直线y₂=-2x+2与x轴交于点B，
∴B（1，0），
∴OB=1，
∴AB=|1-（-1）|=2，
∴${S}_{PCOB}={S}_{△PAB}-{S}_{△AOC}=\frac{1}{2}AB•|{y}_{P}|-\frac{1}{2}OA$•OC=$\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}-\frac{1}{2}×1×1=\frac{5}{6}$；
（4）①当QB=QC时，Q（0，0）；
②当BQ=BC时，点Q（$1-\sqrt{2}$，0）或（$1+\sqrt{2}$，0）；
③当BC=QC时，Q（-1，0）．