Question

如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，AB=1，BC=2，则AD=

 

，BD=

 

．

Answer 1

考点：圆内接四边形的性质

专题：

分析：连结AC．先由勾股定理求出AC²=AB²+BC²=1²+2²=5，根据圆周角定理及角平分线的定义得出AD=CD，由圆内接四边形的性质得到∠ADC=180°-∠ABC=90°，那么△ACD是等腰直角三角形，则AD=

2

2

AC=

2

2

×

5

=

10

2

．作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，则AE=

2

2

AB=

2

2

，CF=

2

2

BC=

2

．由S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC+S_△ADC，即可求出BD=

3 2

2

．

解答：解：如图，连结AC．
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC²=AB²+BC²=1²+2²=5．
∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴

AD

=

CD

，
∴AD=CD，
∵⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC=90°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AC=

2

2

×

5

=

10

2

．
作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，则AE=

2

2

AB=

2

2

，CF=

2

2

BC=

2

．
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC+S_△ADC，
∴

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF=

1

2

AB•BC+

1

2

AD•CD，
∴

1

2

BD（

2

2

+

2

）=

1

2

×1×2+

1

2

×

10

2

×

10

2

，
∴BD=

3 2

2

．
故答案为

10

2

，

3 2

2

．

点评：本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，角平分线的定义，直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，勾股定理的应用，四边形的面积，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．