Question

如图，已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，EF＝BE，∠BEF＝90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG 、CG.

　　(1)探索EG、CG的数量关系，并说明理由；

　　（2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图②，连结DF,取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；

　　（3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0到90°之间）得图③，连结DF，取DF的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由.

Answer 1

（1）EG=CG.

　　证明：∵∠DEF=∠DCF=90⁰,DG=GF,

　　∴EG＝DF＝CG. ……3分

　　（２）EG=CG.

　　证明：过点F作BC的平行线交DC的延长线于点M, 连结MG.

　　易证EFMC为矩形，∴EF=CM.

　　在直角三角形FMD中，DG=GF,

　　∴FG=GM=GD.

　　∴∠GFM=∠GMF.

　　∴∠EFG=∠GMD

　　 ∴△EFG≌△GCM.

　　∴EG=CG. ……7分

　　(3)取BF的中点H,连结EH，GH,取BD的中点O,连结OG,OC.

　　∵CB=CD,∠DCB=90⁰,

　　∴CO＝BD.

　　∵DG=GF,

　　∴GH∥BD，且GH＝BD.

　　∴OG∥BF，且OG＝BF.

　　∴CO=GH.

　　∵△BEF为等腰直角三角形，

　　∴EH＝BF.

　　∴EH=OG.

　　∵四边形OBHG为平行四边形，

　　∴∠BOG=∠BHG.

　　∵∠BOC=∠BHE=90°,

　　∴∠GOC=∠EHG.

　　∴△GOC≌△EHG.

　　∴EG=GC.