Question

如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1，则以下结论正确的有（　　）个
①b²-4ac＞0；②a+c＞b；③a+b+c=0；④8a+c＜0；⑤a：b：c=1：2：（-3）．

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：根据当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点可对①进行判断；
根据抛物线顶点的纵坐标大于0可对②进行判断；
根据抛物线的对称性先求出抛物线与x轴另一个交点为（1，0），即x=1时，y=0，可对③进行判断；
根据对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，得出b=2a，再由抛物线y=ax²+bx+c过点A（-3，0），得出c=-3a，然后由a＜0可对④进行判断；
根据b=2a，c=-3a，可对⑤进行判断．

解答：解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=-

b

2a

=-1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，正确；
②∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-1，而x=-1时，y=a-b+c，
由图象可知，抛物线的顶点在第二象限，
∴a-b+c＞0，
∴a+c＞b，正确；
③∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（1，0），
∴a+b+c=0，正确；
④∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a，
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-3，0），
∴9a-3b+c=0，
将b=2a代入，得9a-6a+c=0，
∴c=-3a，
∴8a+c=5a＜0，正确；
⑤由④可知，b=2a，c=-3a，
∴a：b：c=1：2：（-3），正确．
故选D．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．