Question

    如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E

    (1)求抛物线的解析式；

    (2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

    (3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

Answer 1

    解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4,①

    ∵对称轴x=  =1，∴b=-2a，②，    

    又抛物线过点A（一2，O）∴0=4a-2b+c，③  

    由①②③ 解得：a=, b=1 ,c=4．            

    所以抛物线的解析式是y=x+x+4

    (2)假设存在满足条件的点F，如图如示，连接BF、CF、OF．

过点F分别作FH⊥x轴于H , FG⊥y轴于G．

    设点F的坐标为（t, t2+t+4），其中O<t<4，

则FH=t2 +t+4  FG=t, 

∴△OBF=OB.FH=×4×（t2+4t+4）=一t2+2t+8  

    S△OFC=OC.FC=×4×t=2t

    ∴S四边形ABFC—S△AOC+S△OBF +S△OFC=4-t2+2t+8+2t=-t2+4t+12．

    令一t2+4t+12 =17，即t2-4t+5=0，则△=(一4)2-4×5=一4<0,

    ∴方程t2 -4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F．．          

    (3)设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠O），又过点B(4,0，),  C(0,4)

    所以，解得：，

    所以直线BC的解析式是y=一x+4．  ．

    由y=x2+4x+4=一（x一1)2+，得D（1，），    ．

    又点E在直线BC上，则点E(1，3)，

    于是DE=一3=     

    若以D.E.P.Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ,

    设点P的坐标是（m，一m+4），则点Q的坐标是（m，一t2+m+4）．

     ①当O<m<4时，PQ=（一t2+m+4）一（一m+4）=一m2+2m．

     由一m2+2m= ，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合,m=-1舍去,

     ∴m=-3，此时P1 (3,1)．                               

     ②当m<o或m>4时，PQ=（一m+4）一（一m2++m+4)= m2—2m,

     由m2—2m=，解得m=2±，经检验适合题意，

     此时P2（2+，2一），P3（2一，2+）．

   综上所述，满足条件的点P有三个，分别是P1 (3,1)，P2（2+，2 -），P3（2—，2十）．