Question

某地区为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长96m的一堤段（原海堤的横断面如图中的梯形ABCD）的堤面加宽1.6 m，背水坡度由原来的1：1改成1：2，已知原背水坡长AD=8.0 m，求完成这一工程所需的土方，要求保留两个有效数字．（提供数据≈1.414，≈1.73，≈2.24）

Answer 1

解：分别作DM⊥AB交AB于M，EN⊥AB交AB于N．
∵=，
∴∠DAM=45°，△ADM为等腰三角形，
∵AD=8，
∴DM=AM=4．
又∵CD∥AB，∴EN=DM=4，
DE=MN=1.6．
在Rt△FNE中，=，
∴FN=2EN=8．
∴FA=FN+NM-AM=8+1.6-4=4+1.6≈7.26．
S_{四边形ADEF}=（AF+DE）•EN=（7.26+1.6）×5.66≈25.07（m²）．
V_体积=S_{四边形ADEF}×96=25.07×96=2.40672×10³≈2.4×10³（m³）．
答：完成这一工程需2.4×10³m³的土方．
分析：过点D、E向下底引垂线，得到两个直角三角形，利用三角函数分别求得增加的下底宽和高的相应线段．所需的土方=增加横截面的面积×长度96．
点评：本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法．