Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，CD＝4，EF为梯形的中位线，DH为梯形的高．下列结论：①∠BCD＝；②四边形EHCF为菱形；③S_△BEH＝S_△CEH；④以AB为直径的圆与CD相切于点F．其中正确结论的个数是

[　　]

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

答案：C
解析：

答案：(C) 　　解：1．∵在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DH⊥BC， 　　∴四边形ABHD是矩形． 　　∴BH＝AD＝1．∴HC＝2． 　　在Rt△DHC中， 　　∵cos∠BCD＝＝， 　　∴∠BCD＝．∴①正确． 　　2．∵EF∥BC， 　　∴EF＝(AD＋BC)＝2． 　　∵HC＝2，∴EFHC． 　　∴四边形EFCH是平行四边形． 　　∵△EBH∽△DHC，＝， 　　∴＝． 　　∴EH＝FC＝DC＝2． 　　∴EH＝EF． 　　∴四边形EHCF是菱形． 　　∴②正确． 　　3．∵S△BEH＝BH·BE， 　　S△CEH＝HC·BE＝BH·BE， 　　∴S△BEH＝S△CEH． 　　∴③正确． 　　4．以AB为直径的圆的圆心为E，若与CD相切于点F，则EF⊥CD． 　　∵EF⊥AB，ABDC． 　　∴EF与CD不垂直． 　　∴以AB为直径的圆与CD不相切于点F． 　　∴④不正确．故应选C．

提示：

本题虽然是一道选择题，但是考查的知识点涉及了直线形、相似形、圆等方面的知识．题目中给出了4个结论，要求判断它们的正确性，我们要依据条件逐一判断．