Question

如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由．

 

Answer 1

答案：解：（1）将点代入得

     ……………………1分

解之得，

所以抛物线的解析式为 ………2分

（2）由（1）可得抛物线顶点  …… 3分

     直线的解析式为

     由是对称轴与直线的交点，则

     由与关于点对称 ，则………4分

证法一：

从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于

在和中

，

所以∽

所以      …………………………………5分

证法二：直线的解析式为

点 关于对称轴的对称点是

将点代入可知点在直线

所以 

（3）在中，三内角不等，且为钝角

① 若点在点下方时，

在中，为钝角

因为，

所以和不相等

所以，点在点下方时，两三角形不能相似 …………………… 6分

②  若点在点上方时，

由，要使与相似

只需（点在之间）或（点在的延长线上）

解得点的坐标为或   ………………………………………8分