Question

如图，直线l的解析式为y=

4

3

x+4，l与x轴，y轴分别交于点A，B．
（1）求原点O到直线l的距离；
（2）有一个半径为1的⊙C从坐标原点出发，以每秒1个单位长的速度沿y轴正方向运动，设运动时间为t（秒）．当⊙C与直线l相切时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）设点O到直线AB的距离为h，在y=

4

3

x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，有三角形的面积公式可求出O到直线AB的距离为h=2.4；
（2）如图，设⊙C与直线l相切于点D，连CD，则CD⊥AB，由于AO⊥BO，∠ABO=∠CBD，所以∠BDC=∠BOA=90°，△ABO∽△CBD，故

BC

AB

=

CD

AO

，由（1）得AO=3，BO=4，AB=5，故

BC

5

=

1

3

，BC=

5

3

，OC=4-

5

3

=

7

3

，t=CO=

7

3

（秒），根据对称性得BC'=BC=

5

3

，OC'=4+

5

3

=

17

3

，∴t=OC′=

17

3

（秒）．故当⊙C与直线l相切时，t=

7

3

秒或

17

3

秒．

解答：解：（1）在y=

4

3

x+4中，令x=0，得y=4，得BO=4，令y=0，得x=-3，得AO=3，
∴AB=

AO2+BO2

=5（2分）
设点O到直线AB的距离为h，
∵S_△AOB=

1

2

AO•BO=

1

2

AB•h
∴h=

AO•BO

AB

=2.4；（4分）

（2）如图，设⊙C与直线l相切于点D，连CD，则CD⊥AB，（5分）
∵AO⊥BO，∴∠BDC=∠BOA=90°
∵∠ABO=∠CBD
∴△ABO∽△CBD
∴

BC

AB

=

CD

AO

由（1）得AO=3，BO=4，AB=5
∴

BC

5

=

1

3

∴BC=

5

3

∴OC=4-

5

3

=

7

3

∴t=CO=

7

3

（秒）（8分）
根据对称性得BC'=BC=

5

3

∴OC'=4+

5

3

=

17

3

∴t=OC′=

17

3

（秒）（9分）
∴当⊙C与直线l相切时，t=

7

3

秒或

17

3

秒．（10分）

点评：此题把一次函数与圆的知识相结合，增加了难度，在解答此题时要注意直线与圆相切的两种情况，不要漏解．