Question

12．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上，当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时，求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质和反比例系数k的几何意义即可求得A的在以及三角形AOC的面积，进而求得三角形AOB的面积．

解答 解：当点B在x轴上时，如图1，
作AC⊥OB于C，
∵△AOB是等边三角形，
设OC=x，
∴AC=$\sqrt{3}$x，
∴A（x，$\sqrt{3}$x），
∵顶点A在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上，
∴x•$\sqrt{3}$x=4 $\sqrt{3}$，
∴x=2，
∴A（2，2 $\sqrt{3}$）；
当点B在y轴上时，如图2，
作AC⊥y轴于C，
∵△AOB是等边三角形，
设OC=y，
∴AC=$\sqrt{3}$y，
∴A（$\sqrt{3}$y，y），
∵顶点A在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上，
∴$\sqrt{3}$y•y=4$\sqrt{3}$，
∴y=2，
∴A（2$\sqrt{3}$，2）；
S_△AOB=2×$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，关键是分类思想的运用．