Question

如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3），将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l₁．
（1）求l₁的解析式；
（2）在l₁的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A₁及C两点的距离差最大，并说出理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l₁于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径

Answer 1

解：（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A₁、B₁，
依题意，由翻折变换的性质可知A₁（3，0），B₁（﹣1，0），C点坐标不变，
因此，抛物线l₁经过A₁（3，0），B₁（﹣1，0），C（0，﹣3）三点，设抛物线l₁的解析式为y=ax²+bx+c，
则有：，
解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，
故抛物线l₁的解析式为：y=x²﹣2x﹣3．
（2）抛物线l₁的对称轴为：x==1，
如图2所示，连接B₁C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．
此时，|PA₁﹣PC|=|PB₁﹣PC|=B₁C．
设P'为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，
则有：|P'A﹣P'C|=|P'B₁﹣P'C|＜B₁C（三角形两边之差小于第三边），
故|P'A﹣P'C|＜|PA₁﹣PC|，即|PA₁﹣PC|最大．
设直线B₁C的解析式为y=kx+b，
则有：，解得k=b=﹣3，
故直线B₁C的解析式为：y=﹣3x﹣3．
令x=1，得y=﹣6，
故P（1，﹣6）．
（3）依题意画出图形，如图3所示，
有两种情况．
①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，
由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，
则D（1，r），F（1+r，r）．
∵点F（1+r，r）在抛物线y=x²﹣2x﹣3上，
∴r=（1+r）²﹣2（1+r）﹣3，
化简得：r²﹣r﹣4=0  
解得r₁=，r₂=（舍去），
∴此圆的半径为；
②当圆位于x轴下方时，
同理可求得圆的半径为．
综上所述，此圆的半径为或