Question

如图，抛物线：交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交x轴于C、D两点。

（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由。

Answer 1

解：（1）令y=0，得=0，
∴，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，
∴C（-1，0），D（3，0），a=-1，
∴抛物线为y=-(x+1)(x-3)，即。
（2）存在。
令x=0，得y=3，∴M（0，3），
∵抛物线是抛物线向右平移2个单位后得到的，
∴点N（2，3）在上，且MN=2，MN∥AC，
又∵AC=2，
∴MN=AC，
∴四边形ACNM为平行四边形，
同理，上的点N′（-2，3）满足N′M∥AC，N′M=AC，
∴四边形ACMN′是平行四边形，
∴N（2，3），N′（-2，3）即为所求。
（3）设P₁（x₁，y₁）是上任意一点（y₁≠0），
则点P关于原点的对称点Q（-x₁，-y₁），且，
将点Q的坐标代入，
得，
∴点Q不在抛物线上。