Question

【题目】已知二次函数：．

（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），，函数图象如图所示见解析；（3）存在这样的点P，点P的坐标为或．

【解析】

（1）1）将解析式右边因式分解得抛物线与x轴的交点为（2，0）、（，0），结合a＜0即可得证；

（2）根据题意求出，再求出函数与x轴的交点，即可作图；

（3）根据题意作出图像，根据题意分两种情况讨论：①当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，根据求出，因此，求出，则可求出求得直线CE解析式为，再联立两直线即可求出P点坐标；②当点P在直线AC下方时， 同理求出P的坐标.

（1）∵，且，

∴抛物线与x轴的交点为、，

则二次函数的图象与x轴有两个交点；

（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，

∴，

则抛物线与x轴的交点A的坐标为、B的坐标为，

∴抛物线解析式为

，

当时，，即，

函数图象如图1所示：

（3）存在这样的点P，

∵，

∴，

如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，

∵，

∴，，

则，

∴，

则，

求得直线CE解析式为，

联立，

解得或，

∴；

如图3，当点P在直线AC下方时，记直线PC与x轴的交点为F，

∵，，

∴，

则，

∴，

求得直线PC解析式为，

联立，

解得：或，

∴，

综上，点P的坐标为或．