Question

【题目】如图，是边长为的正方形对角线上一动点（与、不重合），点在线段上，且．

求证：①；②；

设，的面积为．

①求出关于的函数关系式，并写出的取值范围；

②当取何值时，取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①．．②当时，．

【解析】

（1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．

（2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．

证明：①过点作，分别交、于、．如图所示．

∵四边形是正方形，

∴四边形和四边形都是矩形，

和都是等腰直角三角形．

∴，，度．

又∵，

∴，

∴，

∴．

∴．

②∴．

∴度．

∴度．

∴．

解：①过作，可得为等腰直角三角形，

四边形为矩形，可得，

∵，∴，

∴，．

∴．

即．．

②

∵，

∴当时，．