Question

如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S△ABD=

1

2

c(c+x)你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．

Answer 1

分析：（1）首先证明Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，进而求出∠AFE=180°-（∠BAC+∠AEF）=90°，即可得出答案；
（2）根据S_△ABD=S_△BCE+S_△ACD+S_△ABE，S△ABD=

1

2

c(c+x)得出a²+b²=c²即可．

解答：（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，

CA=CD DE=AB

∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）
∴∠BAC=∠EDC（全等三角形的对应角相等），
∵∠AEF=∠DEC（对顶角相等），∠EDC+∠DEC=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°．
∴∠AFE=180°-（∠BAC+∠AEF）=90°．
∴DE⊥AB．

（2）解：由题意知：
S_△ABD=S_△BCE+S_△ACD+S_△ABE=

1

2

a²+

1

2

b²+

1

2

cx，
∵S△ABD=

1

2

c(c+x)，
∴

1

2

a2+

1

2

b2+

1

2

cx=

1

2

c(c+x)．
∴a²+b²=c²．

点评：此题主要考查了勾股定理的证明和全等三角形的判定与性质，根据图形面积得出S_△ABD=S_△BCE+S_△ACD+S_△ABE=

1

2

a²+

1

2

b²+

1

2

cx是解题关键．