题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A.B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小?若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）抛物线的解析式为
；（2）抛物线的对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小
【解析】
（1）将点A,C代入解析式中即可得到抛物线的解析式；
（2）因为BC的长度不变，要使周长最小，就是DB+DC最小，而A,B关于对称轴对称，所以AC就是DB+DC的最小值，此时D点就是AC与抛物线对称轴的交点.先用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出抛物线的对称轴，即可求出交点.
（1）将
代入y=ax2+bx+3中得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）设直线AC的解析式为
将代入得
解得
∴直线AC的解析式为
抛物线的对称轴为
因为BC的长度不变，要使周长最小，就是DB+DC最小，而A,B关于对称轴对称，所以AC就是DB+DC的最小值，此时D点就是AC与抛物线对称轴的交点.
当时，
∴点D的坐标为（2，1）
∴抛物线的对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小
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