Question

平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'。
（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标。

Answer 1

解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'，点A的坐标为（0，3），点A′的坐标为（3，0），
所以抛物线过点C（-1，0），A（0，3），A′（3，0）。设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可得
解得
 ∴过点C，A，A′的抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
 （2）因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°；
∴
又∠OC′D=∠OCA=∠B，∠C′OD=∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA
又OC′=OC=1
∴
又△ABO的周长为
∴△C′OD的周长为；
（3）连接OM，设M点的坐标为（m，n），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴
=
=
因为0<m<3，所以当时，，△AMA'的面积有最大值，
所以当点M的坐标为（）时，△AMA'的面积有最大值，且最大值为。