题目内容
(2013•晋江市)将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E.
(1)当m=3时,点B的坐标为
(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
(3)如图,若点E的纵坐标为-1,抛物线y=ax2-4
ax+10(a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的内部,求a的取值范围.
(1)当m=3时,点B的坐标为
(3,4)
(3,4)
,点E的坐标为(0,1)
(0,1)
;(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.
(3)如图,若点E的纵坐标为-1,抛物线y=ax2-4
5 |
分析:(1)根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标;
(2)由折叠的性质求得线段DE和AE的长,然后利用勾股定理得到有关m的方程,求得m的值即可;
(3)过点E作EF⊥AB于F,EF分别与 AD、OC交于点G、H,过点D作DP⊥EF于点P,首先利用勾股定理求得线段DP的长,从而求得线段BF的长,再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长,最后求得a的取值范围.
(2)由折叠的性质求得线段DE和AE的长,然后利用勾股定理得到有关m的方程,求得m的值即可;
(3)过点E作EF⊥AB于F,EF分别与 AD、OC交于点G、H,过点D作DP⊥EF于点P,首先利用勾股定理求得线段DP的长,从而求得线段BF的长,再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长,最后求得a的取值范围.
解答:解:(1)点B的坐标为(3,4),点E的坐标为(0,1);
(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下:∵四边形OABC为矩形,
∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCE=90°,
由折叠的性质可得:DE=BD=OA-CD=4-1=3,AE=AB=OC=m,
如图1,假设点E恰好落在x轴上,在Rt△CDE中,由
勾股定理可得EC=
=
=2
,
则有OE=OC-CE=m-2
,
在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2
即42+(m-2
)2=m2
解得m=3
…(7分)
(3)如图2,过点E作EF⊥AB于F,EF分别与AD、OC交于点G、H,过点D作DP⊥EF于点P,则EP=PH+EH=DC+EH=2,
在Rt△PDE中,由勾股定理可得DP=
=
=
∴BF=DP=
,
在Rt△AEF中,AF=AB-BF=m-
,EF=5,AE=m
∵AF2+EF2=AE2
∴(m-
)2+52=m2
解得m=3
,
∴AB=3
,AF=2
,E(2
,-1)
∵∠AFG=∠ABD=90°,∠FAG=∠BAD
∴△AFG∽△ABD
∴
=
即
=
,
解得FG=2,
∴EG=EF-FG=3
∴点G的纵坐标为2,
∵y=ax2-4
ax+10=a(x-2
)2+(10-20a)
∴此抛物线的顶点必在直线x=2
上,
又∵抛物线y=ax2-4
ax+10的顶点落在△ADE的内部,
∴此抛物线的顶点必在EG上,
∴-1<10-20a<2,
解得
<a<
故a的取值范围为
<a<
.
(2)点E能恰好落在x轴上.理由如下:∵四边形OABC为矩形,
∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCE=90°,
由折叠的性质可得:DE=BD=OA-CD=4-1=3,AE=AB=OC=m,
如图1,假设点E恰好落在x轴上,在Rt△CDE中,由
勾股定理可得EC=
DE2-CD2 |
32-12 |
2 |
则有OE=OC-CE=m-2
2 |
在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2
即42+(m-2
2 |
解得m=3
2 |
(3)如图2,过点E作EF⊥AB于F,EF分别与AD、OC交于点G、H,过点D作DP⊥EF于点P,则EP=PH+EH=DC+EH=2,
在Rt△PDE中,由勾股定理可得DP=
DE2-EP2 |
32-22 |
5 |
∴BF=DP=
5 |
在Rt△AEF中,AF=AB-BF=m-
5 |
∵AF2+EF2=AE2
∴(m-
5 |
解得m=3
5 |
∴AB=3
5 |
5 |
5 |
∵∠AFG=∠ABD=90°,∠FAG=∠BAD
∴△AFG∽△ABD
∴
AF |
AB |
FG |
BD |
即
2
| ||
3
|
FG |
3 |
解得FG=2,
∴EG=EF-FG=3
∴点G的纵坐标为2,
∵y=ax2-4
5 |
5 |
∴此抛物线的顶点必在直线x=2
5 |
又∵抛物线y=ax2-4
5 |
∴此抛物线的顶点必在EG上,
∴-1<10-20a<2,
解得
2 |
5 |
11 |
20 |
故a的取值范围为
2 |
5 |
11 |
20 |
点评:本题考查了二次函数的综合知识,是一道有关折叠的问题,主要考查二次函数、矩形、相似形等知识,试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会.
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