Question

如图1，在平面直角坐标系中有矩形OABC，O是坐标系的原点，A在x轴上，C在y轴上，OA=6，OC=2．
（1）分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）已知直线l经过点P（0，-

1

2

）并把矩形OABC的面积平均分为两部分，求直线l的函数表达式；
（3）设（2）的直线l与矩形的边OA、BC分别相交于M和N，以线段MN为折痕把四边形MABN翻折（如图2），使A、B两点分别落在坐标平面的A'、B'位置上．求点A'的坐标及过A'、B、C三点的抛物线的函数表达式．

Answer 1

分析：（1）由于在平面直角坐标系中有矩形OABC，O是坐标系的原点，A在x轴上，C在y轴上，OA=6，OC=2，由此即可求出A、B、C三点的坐标；
（2）根据题意知道l必过矩形OABC的对角线的交点，而根据已知条件可以确定对角线的交点坐标，直线又经过P，利用待定系数法即可确定直线的解析式；
（3）由于FM是直线y=

1

2

x-

1

2

与x轴的交点，利用直线解析式即可求出M的坐标，然后可以求出OM=1，AM=5，然后由矩形的中心对称性得CN=AM=5，BN=OM=1，过N作NE⊥x轴于E，则AE=BN=1，ME=AM-AE=5-1=4，又NE=2，根据勾股定理可以求出MN，连接AA'交l于F，由轴对称性质得AF⊥l（如图2），即AF⊥MN，AA'=2AF，又连接AN，在△AMN中，根据
AF•MN=AM•NE可以求出AF，然后即可求出AA'，过A'作A'D⊥x轴于D，可以证明△ADA'∽△AFM，然后利用相似三角形的性质求出AD、OD的长度，在Rt△AA'D中利用勾股定理可以求出A′D、接着求出A′的坐标，再利用待定系数法可以确定过A'、B、C三点的抛物线的函数表达式．

解答：解：（1）A（6，0）（1分）
B（6，2）（2分）
C（0，2）（3分）


（2）由题意知，l必过矩形OABC的对角线的交点．
连接AC、OB，设交点为Q（如图1）
由矩形性质得Q（3，1）（1分）
把P（0，-

1

2

），Q（3，1）的坐标分别代入y=kx+b
得

b=- 1 2 3k+b=1

解得k=

1

2

，b=-

1

2

（2分）
∴直线l的函数表达式是y=

1

2

x-

1

2

；

（3）由题知FM是直线y=

1

2

x-

1

2

与x轴的交点，
当y=0时，x=1，
∴M（1，0），
∴OM=1，AM=5，由矩形的中心对称性，
得CN=AM=5，BN=OM=1，
过N作NE⊥x轴于E，
则AE=BN=1，ME=AM-AE=5-1=4，
又NE=2，
在Rt△MEN中，MN=

ME2+NE2

=

42+22

=2

5

，
连接AA'交l于F，由轴对称性质得AF⊥l（如图2），即AF⊥MN，AA'=2AF，
又连接AN，在△AMN中，AF•MN=AM•NE，
∴AF=

AM•NE

MN

=

5×2

2 5

=

5

，
∴AA'=2

5

，
过A'作A'D⊥x轴于D，
则△ADA'∽△AFM（一个直角对立相等及一个公共角）
∴

AD

AF

=

AA′

AM

即

AD

5

=

2 5

5

，
∴AD=2，OD=6-2①，
在Rt△AA'D中，A′D=

A′A2-AD2

=

(2 5 )2-22

=4②，
∴由①②得A'（4，4）（3分），
把A'（4，4），B（6，2），C（0，2）的坐标分别代入y=ax²+bx+c，
得

16a+4b+c=4 36a+6b+c=2 c=2

，
解得a=-

1

4

，b=

3

2

，c=2，
∴过A'、B、C三点的抛物线的函数表达式是y=-

1

4

x2+

3

2

x+2（4分）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法确定抛物线解析式、直线的解析式及矩形的折叠问题和相似三角形的性质与判定．综合性很强，解题时一定要有信心和毅力．