Question

五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．

（1）如图1，求∠EBD的度数；

（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG•HC的值．

Answer 1

解：（1）如图1，连接BF，

∵DE与⊙B相切于点F，

∴BF⊥DE，

在R_t△BAE与R_t△BEF中，，

∴R_t△BAE≌R_t△BEF，

∴∠1=∠2，

同理∠3=∠4，

∵∠ABC=90°，

∴∠2+∠3=45°，

即∠EBD=45°；

（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，

∵∠4=15°，

由（1）知，∠3=∠4=15°，

∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，

∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，

∴AE=，BE=，

在△ABE与△PBC中，，

∴△ABE≌△PBC，

∴PB=BE=，

∴PF=，

∵∠P=60°，

∴DF=2﹣，

∴CD=DF=2﹣，

∵∠EAG=∠DCH=45°，

∠AGE=∠BDC=75°，

∴△AEG∽△CHD，

∴，

∴AG•CH=CD•AE，

∴AG•CH=CD•AE=（2﹣）•=．