Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=1，AB=3，BC=3，点P是AB上一个动点，则PC+PD的和最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．

解答： 解：延长CB到E，使EB=CB=3，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BE，
∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，
∴△ADP∽△BEP，
∴AP：BP=AD：BE=1：3，
∴PB=3AP，
∵AP+BP=AB=3，
∴AP=

3

4

，BP=

9

4

，
∴PD=

PA2+AD2

=

5

4

，PE=

PB2+BE2

=

15

4

，
∴DE=PD+PE=5，
∴PC+PD的最小值是5，
故答案为：5．

点评：此题考查了轴对称的性质、勾股定理的运用及相似三角形的判定和性质，解题时要注意找到对称点，并根据“两点之间线段最短”确定P点的位置．