Question

19．如图，⊙O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长是$\frac{17\sqrt{2}}{2}$cm．

Answer 1

分析 首先作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，得出CF的长，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD的长．

解答 解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴DA=DB．
∵∠AFD=∠BGD=90°，
在Rt△ADF和Rt△BDG，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=5cm，AB=13cm，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=12（cm），
∴5+AF=12-AF，
∴AF=$\frac{7}{2}$，
∴CF=$\frac{17}{2}$，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$（cm）．
故答案为：$\frac{17\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．