Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴与点E，则下列结论：①2a+b=0；②b+2c>0；③a+b>am+bm（m为任意实数）；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤当△BCD为直角三角形时，a的值有2个；⑥若点P为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为．其中正确的有（ ）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

由A(-1，0)，B(3，0)得出抛物线的对称轴，利用对称轴判断①，利用对称轴与函数的最大值判断②，利用不同的的值对应不同的函数值，数型结合判断③，利用两个函数的交点判断④，利用两条直线互相垂直时， 求出的值判断⑤，利用三角形任意两边的差小于第三边，判断⑥．

解：因为A(-1，0)，B(3，0)，所以抛物线的对称轴是，所以，

从而①2a+b=0正确．

又因为当，＞0，把2a+b=0化为代入＞0得：＞0，即b+2c>0，所以②正确．

又因为当，，当，，由抛物线的性质知道：函数的最大值是，所以为任意实数时有，所以，所以③错误．

由化为，考查函数与的交点个数，显然两个函数有两个交点，所以④一元二次方程有两个不相等的实数根正确．

因为抛物线过点A(-1，0)，B(3，0)，

所以： 解得：

所以抛物线为

所以C（0，），D（1，）而B（3，0）

所以，，，

当时，，解得：，（舍去）

当时，，解得：，（舍去）

当时，，方程无解，所以⑤正确．

如下图，因为A，B两点关于抛物线的对称轴对称，所以＝，当P，A，C三点不共线时总有＜AC，而且只有P，A，C三点共线时有＝AC，所以有最大值且等于AC，又因为A(-1，0)，C(0，c)，所以，故⑥错误．

故选C．