Question

如图，点P(－m，m²)抛物线：y = x²上一点，将抛物线E沿x轴正方向平移2m个单位得到抛物线F，抛物线F的顶点为B，抛物线F交抛物线E于点A，点C是x轴上点B左侧一动点，点D是射线AB上一点，且∠ACD = ∠POM．问△ACD能否为等腰三角形？

若能，求点C的坐标；若不能，请说明理由．

说明：⑴如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写3步)；⑵在你完成⑴之后，可以从①、②中选取一个条件，完成解答

①m = 1；②m = 2．

附加题:如下图，若将上题“点C是x轴上点B左侧一动点”改为“点C是直线y =－m²上点N左侧一动点”，其他条件不变，探究上题中的问题．

Answer 1

解：ACD能为等腰三角形

      由平移的性质可得，A点坐标为（）,B点坐标（）

      设C点坐标为（），过A点作AH轴，垂足为H，连结AO，

      A点坐标为（），H点坐标为（m,0）,AH=

      B点坐标为（），OH=BH=m

       AB=AO，ABC=AOB，由已知可得,AB//OP, ABC=POM

      又ACD=POM, ACD=ABC=AOB

      若ACD为等腰三角形，则AC=AD，或CD=CA，或DA=DC

      当AC=AD时，

      如下图，AC=AD，ACD=ADC

     

      ADC=ACD=ABC点D与点B重合，点C与点O重合，

      C点坐标为（0，0）

       当CD=CA时，

      方法一：

      如下图，CD=CA，CAD=CDA，ABC=AOB，

     

      CBD=AOC

      ACD=ABC，又ABC=BCD+ADC，

      ACD=BCD+ACB，

      ADC=ACB， BCD≌OAC，BC=OA

      在RtAOH中，OA²=OH²+AH²=m²+(m²)², BC=OA=

      OC=BC-OB=

      C点坐标为（2m-,0）

      方法二：

      如上图，CA=CD，CAD=CDA

又ACD=ABC， CAB=DAC，

ACB∽ADC，ACB=CDA，CAD=ACB，BC=AB

BC=OA

余下部分同方法一

当DA=CD时，

如下图，DA=DC，DAC=ACD

ACD=ABC，DAC=ABC，AC=BC

BC=，AC=

在RtACH中，AC²=AH²+CH²

（）²=

 C点坐标为（，0）

探索过程一：

由已知可得，AB//OP，ABC=POM

ACD=POM，ACD=POM=ABC

探索过程二：

若ACD为等腰三角形，则有三种可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC

当AC=AD时，ACD=ADC

选择条件

当m=1时，P点坐标为（-1，1），由平移性质可得，A点坐标为（1，1），

B点坐标为（2，0）

过A点作AHx轴，垂足为H，连结AO，H点坐标为（1，0），AH=1，OH=BH=1，AB=AO，

ABC=AOB=45，OAB=90

由已知可得，OP//AB，ABC=POM

又ACD=POM， ACD=ABC=AOB=45

若ACD为等腰三角形，则有三种可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC

当AC=AD时，

如下图，AC=AD，ACD=ADC

ACD=ABC，ABC=ADC=AOB，

点D与点B重合，点C与点O重合，C点坐标为（0，0）

当CA=CD时，

方法一：

如下图，CA=CD，CAD=CDA

ACB=AOB+OAC，ACD+DCB=AOB+OAC，

DCB=OAC

又AOB=ABC，BCD≌OAC，BC=OA

在RtAOB中，OB²=OA²+AB²=2OA²，

4=2OA²，OA=

OC=OB-BC=OB-OA=2-，

C点坐标为（2-，0）

方法二：

如上图，CA=CD，CAD=CDA

又ACD=ABC，CAD=BAC，

ACD∽ABC，CDA=ACB

CAD=ACB，AB=BC

在RtAOB中，OB²=OA²+AB²=2AB²

4=2AB², AB=

BC=,OC=OB-BC=2-

C点坐标为（2-，0）

当DA=DC时，

如下图，DA=DC，ACD=DAC

平分OAB,又AO=AB，

C是OB中点，

C点坐标为（1，0）

选择条件

当m=2时，P点坐标为（-2，4），由平移的性质得，A点坐标为（2，4），B点坐标为

（4，0）

连结OA，过A点作AH轴，垂足为H，

H点坐标为（2，0），AH=4，OH=BH=2，

AB=AO，ABC=AOB

由已知可得，OP//AB，ABC=POM，

又ACD=POM，ACD=ABC=AOB

若ACD为等腰三角形，则有三种可能，即AC=AD，或CD=CA，或DA=DC

当AC=AD时，

如下图，AC=AD，ACD=ADC

 

又ACD=ABC=AOB

ACD=ABC=AOB=ADC

点D与点B重合，点C与点D重合

C点坐标为（0，0）

当CA=CD时，

方法一：

如下图，CA=CD，CAD=CDA

ABC=ADC+BCD

又ACD=ACD+BCD，ACD=ABC，

ADC=ACB

又ABC=AOB，CBD=AOC，

CBD≌AOC，BC=OA

在RtAOH中，OA²=AH²+OH²=4²+2²=20，BC=OA=

OC=BC-OB=，C点坐标为（，0）

方法二：

如上图，CA=CD，CAD=CDA，ACD=ABC，

又CAD=BAC，

ACD≌ABC，CDA=ACB，CAD=ACB

AB=BC

在RtABH中，AB²= AH²+BH²=4²+2²=20

BC=AB=

OC=BC-OB=-4，C点坐标为（4-，0）

当DA=DC时，

如上图，DA=DC. DAC=ACD

ACD=ABC，DAC=ABC

AC=BC

在RtACH中，AC=AH²+CH²

（4-）²=4²+（2-）², x=-1

C点坐标为（-1，0）

附加题：

解：ACD能为等腰三角形，

设C点坐标为（x,-m²）

由上题知，H点坐标为（m，0），AH=m²

设AH延长线交y=-m²于点Q，Q点坐标为（m,- m²）,AQ=2 m^2,

AH=HQ, QN=2BH=2m,

N点坐标为（3m, m²）

由题意知，OB//CN，ABO=ANC

由上题知，POM=ABO，

又ACD=POM，ACD=ANC

若ACD为等腰三角形，则AC=AD，或CD=CA，或DA=DC，

当AC=AD时，

如上图，AC=AD，ACD=ADC

ADC=ACD=ANC，点D与点N重合，

CQ=QN，CQ=2m,

C点是坐标为（-m,- m²）

当CD=CD时，

如下图，CD=CA，ADC=CAD

ACD=ANC，CAD=NAC，

ACN∽ADC，ACN=ADC，

CAD=ACN，CN=AN

在RtANQ中，

AN²=AQ²+NQ²=（2m²）²+（2m）²=4m⁴+4m²,

CN=AN=

CE=CN-EN=-3m

C点坐标为（3m-,-m²）

当DA=DC时

如下图，DA=DC，DAC=ACD

ACD=ANC，ANC=DAC，CN=AC

在RtACQ中，AC²=AQ²+CQ²

（3m-x）²=(2m²)²+(m-x)², x=2m-m³,

C点坐标为（2m-m³，-m²）