Question

如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从面积为4的正方形ABCD的顶点A，B，C，D同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A移动．

(1)证明四边形PQEF是正方形；

(2)PE是否总过某一定点？说明理由；

(3)四边形PQEF的顶点位于何处，其面积是否有最小值？最小值是多少？

Answer 1

答案：
解析：

(1)证△PAF≌△QBP≌△ECQ≌△FDE即可． 　　(2)PE总经过AC的中点，连结AC，PE，设PE与AC相交于点O，则△APO≌△CEO．故AO＝CO． 　　故O是正方形ABCO的中心，∴PE过一定点． 　　(3)当四边形PQEF的顶点位于各边中点时，其面积最小，最小面积为2． 　　设AF＝PB＝CQ＝DE＝x，则AP＝BQ＝CE＝DF＝2－x． 　　则四边形PQEF的面积S可用x2＋(2－x)2表示． 　　即S＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2，故当x＝1时，面积有最小值为2．