Question

（2012•普陀区一模）如图，梯形OABC，BC∥OA，边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，点B（3，4），AB=5．
（1）求∠BAO的正切值；
（2）如果二次函数y=

4

9

x2+bx+c的图象经过O、A两点，求这个二次函数的解析式并求图象顶点M的坐标；
（3）点Q在x轴上，以点Q，点O及（2）中的点M为顶点的三角形与△ABO相似，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）作BD⊥OA于点D，由点B的坐标可以求出BD、OD的值，在直角三角形ABD中由勾股定理可以求出AD的值，从而可以求出∠BAO的正切值．
（2）由条件可以求出A点的坐标，利用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式．
（3）根据条件当△ABO∽△MQO和△ABO∽△QMO时，从两种情况根据相似三角形的性质就可以求出OQ的值，从而求出Q点的坐标．

解答：解：（1）作BD⊥OA于点D，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得
AD²=AB²-BD²
∵B（3，4），
∴OD=3，BD=4．
∵AB=5，
∴AD²=25-16，
∴AD=3，
∴tan∠BAD=

4

3

．


（2）∵AD=3，OD=3，
∴OA=6，
∴A（6，0），O（0，0）
∴

0=c 0= 4 9 ×36 +6b+c

∴

b=- 8 3 c=0

∴抛物线的解析式为：y=

4

9

x2-

8

3

x
∴y=

4

9

(x -3)2-4，
∴M（3，-4）．

（3）∵M（3，-4），B（3，4），
∴OB=OM，
∵BD⊥OA，OD=AD，
∴OB=AB=5，
∴OM=5．
△ABO∽△MQO时，

AO

MO

=

BO

OQ

，
∴

6

5

=

5

OQ

，
∴OQ=

25

6

，
∴Q（

25

6

，0）
△ABO∽△QMO时，

AO

QO

=

BO

MO

，
∴

6

QO

=

5

5

，
∴QO=6，
∴Q（6，0），
综上所述，所以Q（

25

6

，0）或（6，0）

点评：本题考查了坐标与图形的性质，锐角三角函数的运用，勾股定理的运用，待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质．