Question

【题目】已知：梯形中，，，，，分别交射线、射线于点、．

（1）当点为边的中点时（如图1），求的长：

（2）当点在边上时（如图2），联结，试问：的大小是否确定？若确定，请求出的正切值；若不确定，则设，的正切值为，请求出关于的函数解析式，并写出定义域；

（3）当的面积为3时，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）确定，；（3）25或73

【解析】

（1）证明△AED，△BEF，△DFC都是等腰直角三角形即可解决问题．

（2）如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．证明E，B，C，D四点共圆，可得∠DCE＝∠ABD即可解决问题．

（3）如图2﹣1中，连接AF．设AE＝x，FB＝y，EB＝m，由S△AEF＝AEFB＝3，推出xy＝6，由AD∥FB，推出＝，推出＝，可得xy＝3m，推出6＝3m，推出m＝2，可得EB＝2，AE＝4，再利用勾股定理求出DE，DC即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠ABC＝∠A＝90°，

∵AE＝EB＝3，AD＝3，

∴AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE＝∠BEF＝∠F＝45°，

∴EF＝DE＝3，FB＝3，

∵DF⊥DC，

∴∠FDC＝90°，

∴∠C＝∠F＝45°，

∴DF＝DC＝6，

∴CF＝DC＝12，

∴BC＝CF﹣BF＝12﹣3＝9．

（2）结论：：∠DCE的大小是定值．

理由：如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．

∵∠EBC＝∠EDC＝90°，EO＝OC，

∴OD＝OE＝OC＝OB，

∴E，B，C，D四点共圆，

∴∠DCE＝∠ABD，

∵在Rt△ADE中，tan∠ABD＝＝，

∴∠ABDspan>的大小是定值，

∴∠DCE的大小是定值，

∴tan∠DCE＝．

（3）如图2﹣1中，连接AF．

设AE＝x，FB＝y，EB＝m，

∵S△AEF＝AEFB＝3，

∴xy＝6，

∵AD∥FB，

∴＝，

∴＝，

∴xy＝3m，

∴6＝3m，

∴m＝2，

∴EB＝2，AE＝4，

在Rt△AED中，DE＝＝5，

在Rt△DEC中，∵tan∠DCE＝＝，

∴DC＝10，

∴S△DEC＝DEDC＝×5×10＝25．