Question

已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥弦CD，AB=6cm，CD=8cm，直线OM⊥AB于M点，交CD于N点，则MN=

1cm或7cm

cm．

Answer 1

分析：根据圆心O的位置分两种情况考虑：当圆心O在两条弦之间时，如图所示，连接OA，OC，由AB与CD平行，OM与AB垂直，根据和平行线中一条直线垂直的直线，与另一条也垂直得到ON垂直于CD，利用垂径定理可得M、N分别为AB、CD的中点，进而由AB及CD的长求出AM及CN的长，在直角三角形AOM和直角三角形CON中，由半径OA及OC的值，利用勾股定理分别求出OM及ON的长，由OM+ON即可求出MN的长；当圆心O在两条弦同侧时，如图所示，同理求出OM及ON的长，由OM-ON即可求出此时MN的长，综上，得到所有满足题意的MN的长．

解答：解：当圆心O在AB与CD之间时，如图所示：

连接OA，OC，
∵AB∥CD，直线OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴M、N分别为AB、CD的中点，
又AB=6cm，CD=8cm，
∴AM=

1

2

AB=3cm，CN=

1

2

CD=4cm，
在Rt△AOM中，OA=5cm，AM=3cm，
根据勾股定理得：OM=

OA2-AM2

=4cm，
在Rt△OCN中，OC=5cm，CN=4cm，
根据勾股定理得：ON=

OC2-CN2

=3cm，
则MN=OM+ON=4+3=7cm；
当圆心O在AB与CD同侧时，如图所示：

连接OA，OC，
∵AB∥CD，直线OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴M、N分别为AB、CD的中点，
又AB=6cm，CD=8cm，
∴AM=

1

2

AB=3cm，CN=

1

2

CD=4cm，
在Rt△AOM中，OA=5cm，AM=3cm，
根据勾股定理得：OM=

OA2-AM2

=4cm，
在Rt△OCN中，OC=5cm，CN=4cm，
根据勾股定理得：ON=

OC2-CN2

=3cm，
则MN=OM-ON=4-3=1cm，
综上，MN=1cm或7cm．
故答案为：1cm或7cm

点评：此题考查了平行线的性质，垂径定理，以及勾股定理，利用了数形结合及分类讨论的思想，在圆中，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．