题目内容
已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=
，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
| 3 |
| A、4 | B、5 | C、6 | D、7 |
分析：这道题在考查垂径定理的基础上，还考查了当两数的和一定时，两数相等时乘积最大以及一元二次（根式）方程．
解答：
解：如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEPF为矩形
已知OA=OC=2 OP=
设OE为x，则OF=EP=
=
∴AC=2AE=2
=2
BD=2DF=2
=2
如设OF为y，同理可得
AC=2
，BD=2
∴AC2+BD2=20，
由此可知AC与BD两线段的平方和为定值
又∵任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的
当AC=BD时
即
=
y=
AC=BD=
∴四边形ABCD的面积等于5
故选B．
解：如图连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEPF为矩形
已知OA=OC=2 OP=
| 3 |
设OE为x，则OF=EP=
| OP2- OE2 |
| 3- x2 |
∴AC=2AE=2
| OA2- OE2 |
| 4- x2 |
BD=2DF=2
| OD2- OF2 |
| x2+1 |
如设OF为y，同理可得
AC=2
| y2+1 |
| 4-y2 |
∴AC2+BD2=20，
由此可知AC与BD两线段的平方和为定值
又∵任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的
| 1 |
| 2 |
当AC=BD时
即
| y2+1 |
| 4-y2 |
y=
| ||
| 2 |
AC=BD=
| 10 |
∴四边形ABCD的面积等于5
故选B．
点评：此题是一道综合性较强的题，融合了方程思想、数形结合思想．还可用a2+b2≥2ab解决，设OE=a、OF=b．分别用a、b表示AC、BD的长．
练习册系列答案
相关题目
点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB=2已知⊙O的半径为4，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（ ）
| A、在圆上 | B、在圆外 | C、在圆内 | D、不确定 |