Question

（1997•吉林）解方程

1+ 9 x

+

x x+9

=

5

2

．如果有一个实根，用这个根和它的相反数为二根作一个一元二次方程；如果有两个实根，分别用这两个实根的倒数为根作一个一元二次方程．

Answer 1

分析：先利用换元法求出x的值，再利用根与系数的关系即可求出这个方程．

解答：解：设y=

1+ 9 x

，则原方程可变形为：y+

1

y

=

5

2

，即2y²-5y+2=0，
解得：y₁=2，y₂=

1

2

，
当y=2时，

1+ 9 x

=2，
解得：x=3，
当y=

1

2

时，

1+ 9 x

=

1

2

，
解得：x=-12
经检验x=3，x=-12均为原方程的根，
则所求的一元二次方程为：z²-（

1

3

-

1

12

）z+

1

3

×（-

1

12

）=0，
即z²-

1

4

z-

1

36

=0．

点评：此题考查了无理方程，解题的关键是利用换元法求出x的值，用到的知识点是一元二次方程根与系数的关系．