Question

17．如图，AB是⊙O直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，切线GD与AB延长线交于点E．
（1）求证：EF=ED；
（2）若AG=3$\sqrt{3}$，⊙O的半径为3，求OF的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥DE，则∠EDF+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠EDF+∠C=90°，由OC⊥AB，可得∠C+∠OFC=90°，由对顶角性质，等量代换得出∠DFE=∠EDF，得出结论；
（2）先求得EF=ED，设DE=x，则EF=x，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠ODE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比求得AE，OE，然后根据AE-OE=OA=3，求得x的值，进而求得OF．

解答 （1）证明：连接OD．
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠EDF+∠ODC=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠C+∠EDF=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠C+∠OFC=90°，
∵∠OFC=∠DFE，
∴∠C+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠EDF，
∴EF=ED；

（2）解：∵AG，AD为⊙O的切线，
∴DG=AG=3$\sqrt{3}$，
又∵EF=ED，
设DE=x，则EF=x，
∵∠ODE=∠GAE，∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴$\frac{OD}{AG}$=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{OE}{GE}$，即$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{x}{AE}$=$\frac{OE}{3\sqrt{3}+x}$，
∴AE=$\sqrt{3}$x，OE=3$+\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵AE-OE=OA=3，
∴$\sqrt{3}$x-（3+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）=3，解得x=3$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$x=9，
∴OF=AE-EF-OA=9-3$\sqrt{3}$-3=6-3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线的性质和相似三角形的性质，作出适当的辅助线，利用方程思想是解答此题的关键．