Question

如图，点M，N分别在等边△ABC的BC，CA边上，直线AM，BN交于点Q，且∠BQM=60°．
（1）求证：BM=CN；
（2）若将题中的点M，N分别移到BC，CA的延长线上，其他条件都不变，是否任能得到BM=CN？请画出图形加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质证明：△ABM≌△BCN，即可证得；
（2）利用AAS定理证明：△ABM≌△BCN即可．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABM=∠C=60°，AB=BC（2分）
又∠ABQ+∠BAQ=∠BQM=60°
∠ABQ+∠CBN=∠ABM=60°
∴∠BAQ=∠CBN（3分）
∴△ABM≌△BCN（ASA）（4分）
∴BM=CN（全等三角形对应边相等）（5分）

（2）解：仍能得到BM=CN，如图所示．证明如下：（6分）
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC（7分）
又∠M+∠MAC=∠ACB=60°
∠N+∠NAQ=∠BQM=60°
而∠MAC=∠NAQ（对顶角相等）
∴∠M=∠N（8分）
∴△ABM≌△BCN（AAS）（9分）
∴BM=CN（全等三角形对应边相等）．（10分）

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，把证明线段相等的问题转化为证明三角形全等的问题是解题关键．