Question

4．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过点P作PE交CD于E，使得∠APE=∠B
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；
如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可证得∠BAP=∠EPC，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△APB∽△PEC；
（2）作AF⊥BC，根据等腰梯形的性质求出BF的长，再由直角三角形的性质即可得出结论；
（3）根据DE：EC=5：3，CD=AB=4可得出DE=2.5，EC=1.5．再由△ABP∽△PCE可得出BP•PC=6，设BP=x，则x（7-x）=6，求出x的值即可．

解答 （1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC

（2）解：作AF⊥BC，
则BF=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=2，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴AB=2BF=4；

（3）解：∵DE：EC=5：3，
∴DE=2.5，EC=1.5．
∵△ABP∽△PCE，
∴$\frac{AB}{\begin{array}{l}PC\end{array}}$=$\frac{BP}{CE}$，
∴$\frac{4}{PC}$=$\frac{BP}{1.5}$，
∴BP•PC=6
设BP=x，则x（7-x）=6
解得，x₁=1，x₂=6．

点评 此题考查的是四边形综合题，涉及到等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．