Question

某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要的结论：一是发现抛物线y＝ax²＋2x＋3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y＝ax²＋2x＋3的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y＝ax²＋2x＋3上．

(1)请你协助探求实数a变化时，抛物线y＝ax²＋2x＋3的顶点所在直线的解析式；

(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；

(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊——一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想成立吗？若能成立，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)当时，的顶点坐标为；当时，的顶点坐标为． 　　设抛物线的顶点在直线上，将、代入，得 　　解得 　　即抛物线的顶点在直线上． 　　(或由抛物线的顶点坐标为，得其顶点在直线上) 　　(2)直线上有一个点(0，3)不是抛物线的顶点． 　　抛物线的顶点坐标为， 　　当a≠0时，顶点横坐标≠0．∴点(0，3)不是抛物线的顶点． 　　(3)得出猜想：对于抛物线(a≠0)，将其顶点的横坐标增加或减少，纵坐标增加，所得到的两个点一定仍在抛物线上．(其他猜想，只要合理也对) 　　理由：∵抛物线的顶点坐标为， 　　∴将其横坐标减少，纵坐标增加，得． 　　同理可得．把代入， 　　得． 　　∴点A在抛物线上．同理可证点B在抛物线上． 　　∴所提出的猜想能够成立．(此问题可利用的形式进行证明，过程同上)