Question

某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题．
（1）写出判定扇形相似的一种方法：若

 

，则两个扇形相似；
（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为

 

；
（3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．

Answer 1

分析：（1）扇形的半径是不同的，扇形相似，只需圆心角相等即可；
（2）相似扇形的半径之比应等于弧长之比，弧长也应是m的2倍；
（3）圆心角应不变，半径之比是面积之比的算术平方根．

解答：解：（1）答案不唯一，
例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”（3分）

（2）m=

nπa

180

，
∴n=

180m

πa

，
弧长=

180m πa πa

180

=2m．（4分）

（3）∵两个扇形相似，
∴新扇形的圆心角为120°（2分）
设新扇形的半径为r，
则（

r

30

）²=

1

2

?r=15

2

．
即新扇形的半径为15

2

cm．（3分）

点评：相似扇形的圆心角相等，对应边，弧长，周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．