题目内容
如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），
则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y=
kx+b，则有：
，解得
；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故N=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB
=
MN（OD+DB）
=
MN·OB，
∴S△BNC=
（﹣m2+3m）3=﹣
（m﹣
）2+
（0＜m＜3）；
∴当m=
时，△BNC的面积最大，最大值为
．
则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y=
kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故N=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB
=
MN（OD+DB）=
MN·OB，∴S△BNC=
（﹣m2+3m）3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=
时，△BNC的面积最大，最大值为．
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