Question

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上的另一点E，顶点为M（2，4），矩形ABCD的顶点A与O重合，AD，AB分别在x，y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）现将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动；同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动，设它们的运动时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与抛物线的交点为N，设多边形PNCD的面积为S，试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用顶点坐标假设出解析式，进而将（0，0）代入得出解析式即可；
（2）根据题意得出P点坐标，进而表示出N点坐标，进而利用当PN=0，即t=0或t=3时，P、N、C、D所构成的多边形为三角形，求出面积即可，再利用当PN≠0时，P、N、C、D四点所构成的多边形是四边形，求出面积即可，即可得出最值．

解答：解：（1）由抛物线的顶点为M（2，4），
设其对应的函数解析式为：y=a（x-2）²+4，
代入（0，0）得a=-1，
故所求解析式为：y=-x²+4x；

（2）∵将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动；
同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动，设它们的运动时间为t秒，
依题意，点P的坐标为：（t，t），点N的坐标为：（t，-t²+4t），
故PN=-t²+3t，
则有：当PN=0，
即t=0或t=3时，分别如图1，2，
P、N、C、D所构成的多边形为三角形，
此时S=

1

2

DC•AD=

1

2

×3×2=3，
当PN≠0时，如图3，
P、N、C、D四点所构成的多边形是四边形，
因为PN∥CD，AD⊥DC，
∴S=

1

2

（CD+PN）•AD，
=

1

2

[3+（-t²+3t）]×2，
=-t²+3t+3，
=-（t-

3

2

）²+

21

4

（0≤t≤3），
所以当t=

3

2

时，S最大=

21

4

＞3，
综上可知P、N、C、D所构成的多边形的面积S有最大值，这个最大值为：

21

4

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及顶点式求二次函数解析式和配方法求二次函数的最值问题等知识，根据图象进行分类讨论得出是解题关键．