Question

【题目】如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．

（1）求证：；

（2）若，求的值；

（3）设，是否存在的值，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）；（3）存在，时，与相似

【解析】

(1)由矩形的性质可知∠A=∠D=90°，由等角的余角相等可得出∠ABF=∠DFE，进而可证出△ABF∽△DFE；
(2)设设，，，利用折叠的性质可得出，，，，利用相似三角形的性质可得出，再结合正切的定义即可求出的值；

(3)分当时和当时两种情况讨论即可得出答案.

（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，

∵沿折叠为，

∴，

∴，

又∵，

∴．

∴；

（2）解：在中，，

∴设，，，

∵沿折叠为，

∴，，，，

又∵，

∴，

∴，

；

（3）存在，时，与相似

理由：当时，．

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴；

②当时，，∵，∴，这与相矛盾，

∴不成立．

综上所述，时，与相似．